Решение простой версии не помогает решать сложную. В описанном ниже решении нам придётся сделать почти $$$1000$$$ запросов.

Выберем числа $$$m_1$$$ и $$$m_2$$$, такие что $$$\gcd(m_1, m_2) = 1$$$, а $$$m_1 \cdot m_2 \ge 10^6$$$. Как их выбрать узнаем чуть позже. Проверим, является ли $$$p$$$ делителем $$$m_1$$$ или $$$m_2$$$. Для этого спросим все простые делители $$$m_1$$$ с модулем $$$m_1$$$ и все простые делители $$$m_2$$$ с модулем $$$m_2$$$. Если угадали, выводим ответ.

Пусть мы знаем, что $$$p \equiv d_1 \mod m_1$$$ и $$$p \equiv d_2 \mod m_2$$$. В таком случае можно применить КТО (Китайскую теорему об остатках) и найти $$$p$$$. Чтобы узнать $$$d_1$$$ надо перебрать все числа, меньшие $$$m_1$$$ и взаимно простые с ним. Этого достаточно, так как в противном случае $$$p$$$ имело бы нетривиальный делитель. Аналогично можно найти $$$d_2$$$.

Остаётся вопрос как выбрать $$$m_1$$$ и $$$m_2$$$. Нужно чтобы $$$\varphi(m_1) + \varphi(m_2) + \varepsilon \le 1000$$$, где $$$\varphi$$$ это функция Эйлера, а $$$\varepsilon$$$ это суммарное количество простых делителей $$$m_1$$$, $$$m_2$$$ и вывод ответа. Прекальком можно найти подходящую пару чисел, например, $$$m_1 = 1155$$$, $$$m_2 = 1118$$$.