Давайте напишем динамику для данной задачи. Подвесим дерево за вершину $$$1$$$. Тогда $$$dp_v$$$ — минимальный ответ, если мы разбили все поддерево вершины $$$v$$$ на пути.

Тогда научимя пересчитывать $$$dp_v$$$. Давайте переберем все пути, проходящие через вершину $$$v$$$ и которые лежат полностью внутри поддерева вершины $$$v$$$. Тогда каждый такой путь разбивает дерево на некоторое количество поддеревьев и тогда минимальная стоимость разбиения с данным путем — это $$$cost(path) + dp_{v_1} + dp_{v_2} + \ldots + dp_{v_k}$$$, где $$$v_i$$$ — это поддерево, на которое разбилось поддерево. И тогда ответ на задачу — $$$dp_{0}$$$.

Если говорить про реализацию, то самый простой способ — это явно выписать все пути, отсортировать их по минимальной глубине и каждый из них явно пересчитывать данным образом.