Добавим все строки в бор, тогда общий префикс двух строк это какой-то путь от корня. При этом общий суффикс это будут два пути из терминальных вершин вверх. Сделаем тогда решение за $$$O(L \cdot n)$$$. Переберем пары терминальных вершин, поднимемся вверх пока символы равны, найдем их LCA и обновим ответ. Это работает за $$$O(L \cdot n)$$$, так как по каждому ребру поднимемся не более, чем $$$n$$$ раз.

Улучшим это решение, уменьшив число проходов по одному ребру. Будем в каждом вершине поддерживать бор на обратных строках, которые закончились в поддереве. Чтобы получить суммарный бор из детей, воспользуемся техникой переливания. Возьмем наибольший по размеру бор и за $$$O(1)$$$ получим его в текущей вершине. Пройдемся по всем остальным детям и за размер меньшего бора добавим все строки из него в большой пар. Во время добавления новой вершины мы можем обновить ответ, посмотрев на две самые глубокие подстроки в поддереве. Данный алгоритм работает за $$$O(L \log L)$$$, так как каждую строка строка добавляется только в бор хотя бы в два раза больший.